雑学 ... 数学への想い

このコーナーは私ことプーが若かりし頃に独学したことを思い出しながら書き連ねてみました。
間違い、勘違いもあろうかと思いますがそこは、皆々様方の暖かいお心をもって穏便に対処いただきます様よろしくお願い致します。

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2007.01.03 Wednesday

Maxwell 方程式の共変微分形式

2007/01/14日加筆

最初に、特殊相対性理論に適合すべく Maxwell の方程式を3次元テンソル + 1形式に書き換えます。

そしてそれらを共変微分形式に直して一般相対性理論に適応させます。

Kaluza と Klein は5次元に拡張することによって重力ポテンシャルと電磁ポテンシャルとが対になるような空間構造を作り上げるべく努力しました。






16:18 | Maxwell方程式 | - | - | - | - |
2006.12.19 Tuesday

Maxwell 方程式の基礎

2007/01/14日加筆

今回は Maxwell の方程式を使ってベクトル解析を勉強してみます。

前半はベクトル解析の公式を使って Maxwell の方程式から導き出される物理的問題を説明。

後半は ベクトル解析における積分定理について紹介させて頂きます。




11:03 | Maxwell方程式 | - | - | - | - |
2006.11.26 Sunday

Einstein Equation ... 一般相対性理論への入口

2007/01/03日加筆および校正

「相対性理論に基づいて作られた重力場の理論は、一般相対性理論と呼ばれる。それは Einstein によって確立され(1916年彼によって定式化された)、あらゆる現存の物理学理論の中で、おそらくもっとも美しい理論である」
Landau・Lipchitz 『場の古典論』から

『反変ベクトルと共変ベクトル』から始まった一般相対性理論の入口までに必要な数学的基礎の紹介は今回をもって終了にさせて頂きます。
長々とお付き合い頂きまして有り難うございました。 m(_ _)m


参考にさせて頂いた文献
P.G.Bergmann 著、 監修 A.Einstein『相対性理論序説』絶版
小林昭七 著 『曲線と曲面の微分幾何学』裳華房
Landau・Lipchitz 共著  『場の古典論 - 原書第6版 - 』東京図書






さらに深く研究されたい方には
佐藤 文隆、小玉 英雄 共著 『一般相対性理論』岩波書店
小林昭七 著 『接続の微分幾何とゲージ理論 』裳華房
J. B. Hartle 著『Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity』
内山 龍雄 著『一般ゲージ場論序説』岩波書店

09:53 | 一般相対性理論 | - | - | - | - |
2006.11.20 Monday

Ricci テンソル と Einstein テンソル

11/20日加筆および校正中

前回、一般相対性理論にとっての重要な方程式のひとつ測地線方程式( Riemann 計量 )は『測地線( Euler - Lagrange Equation )』にて紹介させて頂きました。

「川に浮かぶ木の葉が川の流れに沿って移動するが如く、粒子は測地線に沿って移動するのです」


もうひとつの重要な方程式は Einstein 重力方程式と呼ばれている方程式です。

ここではその前段階として『テンソル解析 ... 共変微分』の最後に示しました Bianchi の第2恒等式から Einstein テンソルを導きます。


曲がった空間での曲率を表す量、すなわち Riemann - Christoffel 曲率テンソルから導かれた恒等式を使って導出される Einstein テンソルは曲がった空間において共変であるということです。




以下このコーナーの補足として Riemann - Christoffel 曲率テンソルの対称性、証明、ならびに Ricci テンソルの別定義における検証を付記しておきます。
一般相対性理論、アインシュタイン方程式
数式番号は新たに付け直しているのでご注意下さいませ。

Appendix



21:26 | 一般相対性理論 | - | - | - | - |
2006.10.22 Sunday

測地線 ( Euler-Lagrange Equation )

10/23日校正

変分法といえば Bernoulli の最速降下線問題(私は物理靴能いましたが今はどうなのだろう)。

Euler - Lagrange Equation を使って一般座標系における測地線(ある2点間の最短経路)の方程式を求めます。

そして曲がった空間においてはその微分方程式が Newton の運動方程式にとって代わるのです。

余談ですが、Euler - Lagrange Equation は現代物理学においてとっても重要な役割をする方程式です。正準形( Hamilton 正準微分方程式 )をとれば量子力学へも....




01:05 | 一般相対性理論 | - | - | - | - |
2006.09.26 Tuesday

テンソル解析 ... 共変微分

10/18日校正中

「相対論に関するアインシュタインの仕事は、おそらく、今までに純理論的科学さらには認識論において、成しとげられえたすべてのことを大胆に凌駕している。非ユークリッド幾何学は、それに比較すれば子どもの遊びである。」Max Planck
Max Planck

「それは突然のことでした。ある考えがひらめいたのです。人生で最高の思いつきといってもいいかも知れません。もし、人が屋根から落ちたら、その人は自分の重さを感じないだろうと考えたわけです。」 A.Einstein

Einstein Archives Online

反変ベクトル、共変ベクトルを微分すると......
普通に行うと変な尾ひれが付いてしまうのです。
そしてその修正をするために Christoffel 記号を導入します。



Einstein 直筆


重力によって時空間は曲がる!!!言い換えれば物体が存在すればその周辺の空間は曲がる!!!
一般相対性理論、ビアンキ、共変微分、クリストッフェル

ここでの共変微分の共変は共変ベクトルのそれの意味ではありませんのでご注意を!






Riemann - Christoffel テンソルにどの定義(下部添字の列び方)を用いるかによって符号、順番が換わります。しかし求める本質は変わらないので ..... ひとつに統一して議論すれば全く気にしなくて OK なのです。私も若かりし頃、計算の途中で添字の順番が違っていることに気付かず随分と悩んだ記憶があります。(笑)

この件に関して当時の某、大物理学者も『自分はバカじゃないかと思った』という逸話は有名な話です。

(45)(46)からお判りのように共変微分は可換ではありません。とる経路によって接ベクトルが変わってしまうのです。それ故に空間は曲がっていると言えるのです。

00:34 | 一般相対性理論 | - | - | - | - |
2006.09.12 Tuesday

テンソルの基礎 ... 計量

テンソルという言葉を見ると大学1年のときの電磁気学の教授がベクトルと言わずやたらテンソ
ルを連呼していたのを思い出します。(笑)

前半はテンソルの基礎、後半は計量テンソルについて論じてみました。

しかし、またまた長文になってしまいました f^^)




12:16 | 一般相対性理論 | - | - | - | - |
2006.09.04 Monday

反変ベクトル と 共変ベクトル

これから暫くは一般相対性理論への入口に到達するために必要な数学的基礎を紹介させて頂き
ます。

それは反変ベクトルと共変ベクトル、共変微分、測地線、曲率テンソル等々 ....



22:27 | 一般相対性理論 | - | - | - | - |
2006.08.28 Monday

直交行列 ... Determinant

またまた長くなってしまいました。(笑)

こっちを説明するためにはあっちを説明する。数学の困ったところです。

今回は実ユニタリー行列、またの名を直交行列。なおざりにされがちな Determinant について
説明させて頂きます。とっても重要なんだけど!

Determinant の値が±1ならば直交群をなすといいます。特に Determinant の値が1ならば特
殊直交群。

ユニタリー変換はノルム(長さ)をそのまま移します。
だから線形座標変換に対して不変量となるのです。『長さ』が....

後半に出てくる固有値、固有ベクトルの概念は量子力学において大変重要な位置を占めます。



2つめの問いかけのヒントは(11)式にあります。

LaTeX ファイルは以下からダウンロード(右クリック)出来ます。
determinant.tex


OS 標準のテキストエディターでは .tex ファイルを正常に開くことが出来ません。
Windows : 右上の LINK にある "サクラエディター" をダウンロードして御覧になって下さい。
Mac : LINK の "mi" で開いてみて下さい。(OS9版 OSX版)

03:37 | 数学 | - | - | - | - |
2006.08.11 Friday

Cartesian 座標系

直交座標系。別名 Descartes の名前をとって Cartesian 座標系ともいいます。

"特殊相対性理論への入口" の中の "余談2" で書いた式


η_μν は Minkowski 時空間の計量テンソル、かたや "Cartesian 座標系 .... 計量テンソル"
文中の


基底が直交している条件下のもとで α_μν は Cartesian 座標系の計量テンソル。
とってもよく似ていますよね。(笑)
違いは空間における距離、時間の捉え方にあります。

その違いを明確にするのが計量。

では基底ベクトルの直交から説明させて頂きます。


計量テンソルと Kronecker のデルタが等しいということは Kronecker のデルタもテンソル?

そうなんです!2階混合テンソルといわれています。

Kronecker のデルタがテンソルである証明はテンソルを定義した時にさせて頂きます。

そうそう (14) を (11) に代入するとどうなるでしょうか。

それから (13) へ (14) を代入する手もありますよね。たくさん楽しめます。

LaTeX ファイルは以下からダウンロード(右クリック)出来ます。
cartesian.tex


OS 標準のテキストエディターでは .tex ファイルを正常に開くことが出来ません。
Windows : 右上の LINK にある "サクラエディター" をダウンロードして御覧になって下さい。
Mac : LINK の "mi" で開いてみて下さい。(OS9版 OSX版)

06:15 | 数学 | - | - | - | - |

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